1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1 का समाधान करें

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

x के लिए हल करें

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618033989$$

द्विघात सूत्र का उपयोग करने के चरण

चर x, -1,1 मानों में से किसी के भी बराबर नहीं हो सकता क्योंकि शून्य से विभाजन निर्धारित नहीं है. समीकरण के दोनों ओर \left(x-1\right)\left(x+1\right) से गुणा करें, जो कि x+1,x-1,x^{2}-1 का लघुत्तम समापवर्तक है.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

2 से x+1 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

3x प्राप्त करने के लिए x और 2x संयोजित करें.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

1 को प्राप्त करने के लिए -1 और 2 को जोड़ें.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

दोनों ओर से x^{2} घटाएँ.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

दोनों ओर से 2x घटाएँ.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

x प्राप्त करने के लिए 3x और -2x संयोजित करें.

$$x+1-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 प्रकार के सभी समीकरणों को द्विघात सूत्र का उपयोग कर हल किया जा सकता है: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. द्विघात सूत्र दो समाधान देता है, एक जब ± जोड़ होता है और एक जब घटाव होता है.

$$-x^{2}+x+1=0$$

यह समीकरण मानक रूप में है: ax^{2}+bx+c=0. a के लिए स्थानापन्न -1, b के लिए 1 और द्विघात सूत्र में c के लिए 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

वर्गमूल 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 को -1 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

1 में 4 को जोड़ें.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

2 को -1 बार गुणा करें.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

± के धन में होने पर अब समीकरण x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} को हल करें. -1 में \sqrt{5} को जोड़ें.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

-2 को -1+\sqrt{5} से विभाजित करें.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

± के ऋण में होने पर अब समीकरण x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} को हल करें. -1 में से \sqrt{5} को घटाएं.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

-2 को -1-\sqrt{5} से विभाजित करें.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

अब समीकरण का समाधान हो गया है.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

वर्ग को पूरा करने के लिए चरण

चर x, -1,1 मानों में से किसी के भी बराबर नहीं हो सकता क्योंकि शून्य से विभाजन निर्धारित नहीं है. समीकरण के दोनों ओर \left(x-1\right)\left(x+1\right) से गुणा करें, जो कि x+1,x-1,x^{2}-1 का लघुत्तम समापवर्तक है.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

2 से x+1 गुणा करने हेतु बंटन के गुण का उपयोग करें.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

3x प्राप्त करने के लिए x और 2x संयोजित करें.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

1 को प्राप्त करने के लिए -1 और 2 को जोड़ें.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

दोनों ओर से x^{2} घटाएँ.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

दोनों ओर से 2x घटाएँ.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

x प्राप्त करने के लिए 3x और -2x संयोजित करें.

$$x+1-x^{2}=0$$

दोनों ओर से 1 घटाएँ. शून्य में से कुछ भी घटाने पर इसका ऋणात्मक मान प्राप्त होता है.

$$x-x^{2}=-1$$

इस तरह के त्रिपद समीकरणों को वर्ग को पूर्ण करके हल किया जा सकता है. वर्ग को पूरा करने के लिए, समीकरण को पहले x^{2}+bx=c के रूप में होना चाहिए.

$$-x^{2}+x=-1$$

दोनों ओर -1 से विभाजन करें.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

-1 से विभाजित करना -1 से गुणा करने को पूर्ववत् करता है.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

-1 को 1 से विभाजित करें.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

-1 को -1 से विभाजित करें.

$$x^{2}-x=1$$

-\frac{1}{2} प्राप्त करने के लिए x पद के गुणांक -1 को 2 से भाग दें. फिर समीकरण के दोनों ओर -\frac{1}{2} का वर्ग जोड़ें. यह चरण समीकरण के बाएँ हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग बनाता है.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

भिन्न के अंश और हर दोनों का वर्गमूल करके -\frac{1}{2} का वर्ग करें.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

1 में \frac{1}{4} को जोड़ें.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

गुणक x^{2}-x+\frac{1}{4}. सामान्यतः, जब x^{2}+bx+c एक पूर्ण वर्ग होता है, तो इसका गुणनखंड हमेशा \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} के रूप में निकाला जा सकता है.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

समीकरण के दोनों ओर का वर्गमूल लें.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

सरल बनाएं.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

समीकरण के दोनों ओर \frac{1}{2} जोड़ें.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$