פתור את z^2-6z-16

$$z ^ { 2 } - 6 z - 16$$

פרק לגורמים

$$\left(z-8\right)\left(z+2\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- z^{2}+az+bz-16. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-6 ab=1\left(-16\right)=-16$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -16.

$$1,-16 2,-8 4,-4$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-16=-15 2-8=-6 4-4=0$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -6.

$$a=-8 b=2$$

שכתב את ‎z^{2}-6z-16 כ- ‎\left(z^{2}-8z\right)+\left(2z-16\right).

$$\left(z^{2}-8z\right)+\left(2z-16\right)$$

הוצא את הגורם המשותף z בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$z\left(z-8\right)+2\left(z-8\right)$$

הוצא את האיבר המשותף z-8 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(z-8\right)\left(z+2\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$z^{2}-6z-16=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-16\right)}}{2}$$

‎-6 בריבוע.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-16\right)}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-16.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+64}}{2}$$

הוסף את ‎36 ל- ‎64.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{100}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 100.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±10}{2}$$

ההופכי של ‎-6 הוא ‎6.

$$z=\frac{6±10}{2}$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{6±10}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎6 ל- ‎10.

$$z=\frac{16}{2}$$

חלק את ‎16 ב- ‎2.

$$z=8$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{6±10}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎10 מ- ‎6.

$$z=-\frac{4}{2}$$

חלק את ‎-4 ב- ‎2.

$$z=-2$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎8 במקום x_{1} וב- ‎-2 במקום x_{2}.

$$z^{2}-6z-16=\left(z-8\right)\left(z-\left(-2\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$z^{2}-6z-16=\left(z-8\right)\left(z+2\right)$$

הערך

$$\left(z-8\right)\left(z+2\right)$$