פתור את y^2-17y+30=0

$$y ^ { 2 } - 17 y + 30 = 0$$

פתור עבור y

$$y=2$$

$$y=15$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים

כדי לפתור את המשוואה, פרק את y^{2}-17y+30 לגורמים באמצעות הנוסחה y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-17 ab=30$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -17.

$$a=-15 b=-2$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים \left(y+a\right)\left(y+b\right) באמצעות הערכים שהתקבלו.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את y-15=0 ו- y-2=0.

$$y=15 y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- y^{2}+ay+by+30. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-17 ab=1\times 30=30$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -17.

$$a=-15 b=-2$$

שכתב את ‎y^{2}-17y+30 כ- ‎\left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right).

$$\left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right)$$

הוצא את הגורם המשותף y בקבוצה הראשונה ואת -2 בקבוצה השניה.

$$y\left(y-15\right)-2\left(y-15\right)$$

הוצא את האיבר המשותף y-15 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את y-15=0 ו- y-2=0.

$$y=15 y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$y^{2}-17y+30=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -17 במקום b, וב- 30 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

‎-17 בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 30}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎30.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-120}}{2}$$

הוסף את ‎289 ל- ‎-120.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{169}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 169.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±13}{2}$$

ההופכי של ‎-17 הוא ‎17.

$$y=\frac{17±13}{2}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{17±13}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎17 ל- ‎13.

$$y=\frac{30}{2}$$

חלק את ‎30 ב- ‎2.

$$y=15$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{17±13}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎13 מ- ‎17.

$$y=\frac{4}{2}$$

חלק את ‎4 ב- ‎2.

$$y=2$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$y=15 y=2$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-17y+30=0$$

החסר ‎30 משני אגפי המשוואה.

$$y^{2}-17y+30-30=-30$$

החסרת 30 מעצמו נותנת 0.

$$y^{2}-17y=-30$$

חלק את ‎-17, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{17}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{17}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$y^{2}-17y+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{17}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=-30+\frac{289}{4}$$

הוסף את ‎-30 ל- ‎\frac{289}{4}.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=\frac{169}{4}$$

פרק y^{2}-17y+\frac{289}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

פשט.

$$y-\frac{17}{2}=\frac{13}{2} y-\frac{17}{2}=-\frac{13}{2}$$

הוסף ‎\frac{17}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$y=15 y=2$$