פתור את y^2+7y-60=0

$$y ^ { 2 } + 7 y - 60 = 0$$

פתור עבור y

$$y=-12$$

$$y=5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים

כדי לפתור את המשוואה, פרק את y^{2}+7y-60 לגורמים באמצעות הנוסחה y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=7 ab=-60$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 7.

$$a=-5 b=12$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים \left(y+a\right)\left(y+b\right) באמצעות הערכים שהתקבלו.

$$\left(y-5\right)\left(y+12\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את y-5=0 ו- y+12=0.

$$y=5 y=-12$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- y^{2}+ay+by-60. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=7 ab=1\left(-60\right)=-60$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 7.

$$a=-5 b=12$$

שכתב את ‎y^{2}+7y-60 כ- ‎\left(y^{2}-5y\right)+\left(12y-60\right).

$$\left(y^{2}-5y\right)+\left(12y-60\right)$$

הוצא את הגורם המשותף y בקבוצה הראשונה ואת 12 בקבוצה השניה.

$$y\left(y-5\right)+12\left(y-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף y-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(y-5\right)\left(y+12\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את y-5=0 ו- y+12=0.

$$y=5 y=-12$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$y^{2}+7y-60=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- 7 במקום b, וב- -60 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

‎7 בריבוע.

$$y=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-60\right)}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-60.

$$y=\frac{-7±\sqrt{49+240}}{2}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎240.

$$y=\frac{-7±\sqrt{289}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 289.

$$y=\frac{-7±17}{2}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-7±17}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-7 ל- ‎17.

$$y=\frac{10}{2}$$

חלק את ‎10 ב- ‎2.

$$y=5$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-7±17}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎17 מ- ‎-7.

$$y=-\frac{24}{2}$$

חלק את ‎-24 ב- ‎2.

$$y=-12$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$y=5 y=-12$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$y^{2}+7y-60=0$$

הוסף ‎60 לשני אגפי המשוואה.

$$y^{2}+7y-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

החסרת -60 מעצמו נותנת 0.

$$y^{2}+7y=-\left(-60\right)$$

החסר ‎-60 מ- ‎0.

$$y^{2}+7y=60$$

חלק את ‎7, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{7}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{7}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$y^{2}+7y+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=60+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{7}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$y^{2}+7y+\frac{49}{4}=60+\frac{49}{4}$$

הוסף את ‎60 ל- ‎\frac{49}{4}.

$$y^{2}+7y+\frac{49}{4}=\frac{289}{4}$$

פרק y^{2}+7y+\frac{49}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(y+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

פשט.

$$y+\frac{7}{2}=\frac{17}{2} y+\frac{7}{2}=-\frac{17}{2}$$

החסר ‎\frac{7}{2} משני אגפי המשוואה.

$$y=5 y=-12$$