פתור את x-3y=9;2x+y=1

$$x - 3 y = 9 ; 2 x + y = 1$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7} \approx 1.714285714$$

$$y = -\frac{17}{7} = -2\frac{3}{7} \approx -2.428571429$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x-3y=9,2x+y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x-3y=9$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$x=3y+9$$

השתמש ב- ‎9+3y במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+y=1.

$$2\left(3y+9\right)+y=1$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9+3y.

$$6y+18+y=1$$

הוסף את ‎6y ל- ‎y.

$$7y+18=1$$

החסר ‎18 משני אגפי המשוואה.

$$7y=-17$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$y=-\frac{17}{7}$$

השתמש ב- ‎-\frac{17}{7} במקום y ב- ‎x=3y+9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=3\left(-\frac{17}{7}\right)+9$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{17}{7}.

$$x=-\frac{51}{7}+9$$

הוסף את ‎9 ל- ‎-\frac{51}{7}.

$$x=\frac{12}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{12}{7},y=-\frac{17}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x-3y=9,2x+y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&-3\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-3\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 9+\frac{3}{7}\\-\frac{2}{7}\times 9+\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\\-\frac{17}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{12}{7},y=-\frac{17}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x-3y=9,2x+y=1$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2x+2\left(-3\right)y=2\times 9,2x+y=1$$

פשט.

$$2x-6y=18,2x+y=1$$

החסר את ‎2x+y=1 מ- ‎2x-6y=18 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x-6y-y=18-1$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-6y-y=18-1$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎-y.

$$-7y=18-1$$

הוסף את ‎18 ל- ‎-1.

$$-7y=17$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$y=-\frac{17}{7}$$

השתמש ב- ‎-\frac{17}{7} במקום y ב- ‎2x+y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-\frac{17}{7}=1$$

הוסף ‎\frac{17}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$2x=\frac{24}{7}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{12}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{12}{7},y=-\frac{17}{7}$$