פתור את x^3+x^2+2x-16=0

$$x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + 2 x - 16 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-3}{2}\approx -1.5-2.397915762i$$

$$x=2$$

$$x=\frac{-3+\sqrt{23}i}{2}\approx -1.5+2.397915762i$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -16 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±16,±8,±4,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=2$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}+x^{2}+2x-16 ב- ‎x-2 כדי לקבל ‎x^{2}+3x+8. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}+3x+8=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎3 ב- b ואת ‎8 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-23}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x^{2}+3x+8=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-3}{2} x=\frac{-3+\sqrt{23}i}{2}$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=2 x=\frac{-\sqrt{23}i-3}{2} x=\frac{-3+\sqrt{23}i}{2}$$

פתור עבור x

$$x=2$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -16 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±16,±8,±4,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=2$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}+x^{2}+2x-16 ב- ‎x-2 כדי לקבל ‎x^{2}+3x+8. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}+3x+8=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎3 ב- b ואת ‎8 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-23}}{2}$$

מאחר שהשורש הריבועי של מספר שלילי אינו מוגדר בשדה הממשי, לא קיימים פתרונות.

$$x\in \emptyset$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=2$$