פתור את x^2+3x-20/x^2+3x=8

$$x ^ { 2 } + 3 x - \frac { 20 } { x ^ { 2 } + 3 x } = 8$$

פתור עבור x

$$x=-2$$

$$x=-1$$

$$x=2$$

$$x=-5$$

שלבי פתרון

המשתנה x אינו יכול להיות שווה לאף אחד מהערכים -3,0 מאחר שחלוקה באפס אינה מוגדרת. הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎x\left(x+3\right).

$$x\left(x+3\right)x^{2}+3xx\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x ב- x+3.

$$\left(x^{2}+3x\right)x^{2}+3xx\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את x^{2}+3x ב- x^{2}.

$$x^{4}+3x^{3}+3xx\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

הכפל את ‎x ו- ‎x כדי לקבל ‎x^{2}.

$$x^{4}+3x^{3}+3x^{2}\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3x^{2} ב- x+3.

$$x^{4}+3x^{3}+3x^{3}+9x^{2}-20=8x\left(x+3\right)$$

כנס את ‎3x^{3} ו- ‎3x^{3} כדי לקבל ‎6x^{3}.

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-20=8x\left(x+3\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 8x ב- x+3.

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-20=8x^{2}+24x$$

החסר ‎8x^{2} משני האגפים.

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-20-8x^{2}=24x$$

כנס את ‎9x^{2} ו- ‎-8x^{2} כדי לקבל ‎x^{2}.

$$x^{4}+6x^{3}+x^{2}-20=24x$$

החסר ‎24x משני האגפים.

$$x^{4}+6x^{3}+x^{2}-20-24x=0$$

סדר מחדש את המשוואה כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית. מקם את האיברים לפי הסדר מהחזקה הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר.

$$x^{4}+6x^{3}+x^{2}-24x-20=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -20 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{4}+6x^{3}+x^{2}-24x-20 ב- ‎x+1 כדי לקבל ‎x^{3}+5x^{2}-4x-20. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{3}+5x^{2}-4x-20=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -20 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=2$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}+5x^{2}-4x-20 ב- ‎x-2 כדי לקבל ‎x^{2}+7x+10. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎7 ב- b ואת ‎10 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x^{2}+7x+10=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=-5 x=-2$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=-1 x=2 x=-5 x=-2$$