פתור את x+3y=7,2x+y+1=0

$$x + 3 y = 7,2 x + y + 1 = 0$$

פתור עבור x, y

$$x=-2$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+3y=7,2x+y+1=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+3y=7$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$x=-3y+7$$

השתמש ב- ‎-3y+7 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+y+1=0.

$$2\left(-3y+7\right)+y+1=0$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-3y+7.

$$-6y+14+y+1=0$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎y.

$$-5y+14+1=0$$

הוסף את ‎14 ל- ‎1.

$$-5y+15=0$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$-5y=-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=-3y+7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-3\times 3+7$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎3.

$$x=-9+7$$

הוסף את ‎7 ל- ‎-9.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+3y=7,2x+y+1=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 2}&-\frac{3}{1-3\times 2}\\-\frac{2}{1-3\times 2}&\frac{1}{1-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{5}\left(-1\right)\\\frac{2}{5}\times 7-\frac{1}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-2,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+3y=7,2x+y+1=0$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$2x+2\times 3y=2\times 7,2x+y+1=0$$

פשט.

$$2x+6y=14,2x+y+1=0$$

החסר את ‎2x+y+1=0 מ- ‎2x+6y=14 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2x-2x+6y-y-1=14$$

הוסף את ‎2x ל- ‎-2x. האיברים ‎2x ו- ‎-2x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6y-y-1=14$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-y.

$$5y-1=14$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$5y=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎2x+y+1=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+3+1=0$$

הוסף את ‎3 ל- ‎1.

$$2x+4=0$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$2x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=3$$