פתור את x+2y=8quad,quad3x+y=9

$$x + 2 y = 8 \quad , \quad 3 x + y = 9$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+2y=8,3x+y=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+2y=8$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$x=-2y+8$$

השתמש ב- ‎-2y+8 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+y=9.

$$3\left(-2y+8\right)+y=9$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-2y+8.

$$-6y+24+y=9$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎y.

$$-5y+24=9$$

החסר ‎24 משני אגפי המשוואה.

$$-5y=-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=-2y+8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\times 3+8$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎3.

$$x=-6+8$$

הוסף את ‎8 ל- ‎-6.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+2y=8,3x+y=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times 3}&-\frac{2}{1-2\times 3}\\-\frac{3}{1-2\times 3}&\frac{1}{1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 9\\\frac{3}{5}\times 8-\frac{1}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+2y=8,3x+y=9$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$3x+3\times 2y=3\times 8,3x+y=9$$

פשט.

$$3x+6y=24,3x+y=9$$

החסר את ‎3x+y=9 מ- ‎3x+6y=24 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3x-3x+6y-y=24-9$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-3x. האיברים ‎3x ו- ‎-3x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6y-y=24-9$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-y.

$$5y=24-9$$

הוסף את ‎24 ל- ‎-9.

$$5y=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎3x+y=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+3=9$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$3x=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=3$$