פתור את n^2-4019n+2009^2=0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } = 0$$

פתור עבור n

$$n = \frac{3 \sqrt{893} + 4019}{2} \approx 2054.324658392$$

$$n = \frac{4019 - 3 \sqrt{893}}{2} \approx 1964.675341608$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

חשב את 2009 בחזקת 2 וקבל 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -4019 במקום b, וב- 4036081 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 4036081}}{2}$$

‎-4019 בריבוע.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{16152361-4\times 4036081}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4036081.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{16152361-16144324}}{2}$$

הוסף את ‎16152361 ל- ‎-16144324.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{8037}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 8037.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±3\sqrt{893}}{2}$$

ההופכי של ‎-4019 הוא ‎4019.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎4019 ל- ‎3\sqrt{893}.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎3\sqrt{893} מ- ‎4019.

$$n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

חשב את 2009 בחזקת 2 וקבל 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

החסר ‎4036081 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$n^{2}-4019n=-4036081$$

חלק את ‎-4019, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{4019}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{4019}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$n^{2}-4019n+\left(-\frac{4019}{2}\right)^{2}=-4036081+\left(-\frac{4019}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{4019}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}=-4036081+\frac{16152361}{4}$$

הוסף את ‎-4036081 ל- ‎\frac{16152361}{4}.

$$n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}=\frac{8037}{4}$$

פרק n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{4019}{2}\right)^{2}=\frac{8037}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(n-\frac{4019}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8037}{4}}$$

פשט.

$$n-\frac{4019}{2}=\frac{3\sqrt{893}}{2} n-\frac{4019}{2}=-\frac{3\sqrt{893}}{2}$$

הוסף ‎\frac{4019}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$