פתור את h(x)=-5x^2+20x+60

$$h ( x ) = - 5 x ^ { 2 } + 20 x + 60$$

פרק לגורמים

$$-5\left(x-6\right)\left(x+2\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 5.

$$5\left(-x^{2}+4x+12\right)$$

שקול את -x^{2}+4x+12. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- -x^{2}+ax+bx+12. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=4 ab=-12=-12$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 4.

$$a=6 b=-2$$

שכתב את ‎-x^{2}+4x+12 כ- ‎\left(-x^{2}+6x\right)+\left(-2x+12\right).

$$\left(-x^{2}+6x\right)+\left(-2x+12\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -x בקבוצה הראשונה ואת -2 בקבוצה השניה.

$$-x\left(x-6\right)-2\left(x-6\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-6 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-6\right)\left(-x-2\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$5\left(x-6\right)\left(-x-2\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$-5x^{2}+20x+60=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-5\right)\times 60}}{2\left(-5\right)}$$

‎20 בריבוע.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-5\right)\times 60}}{2\left(-5\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-5.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+20\times 60}}{2\left(-5\right)}$$

הכפל את ‎20 ב- ‎60.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+1200}}{2\left(-5\right)}$$

הוסף את ‎400 ל- ‎1200.

$$x=\frac{-20±\sqrt{1600}}{2\left(-5\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1600.

$$x=\frac{-20±40}{2\left(-5\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-5.

$$x=\frac{-20±40}{-10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-20±40}{-10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-20 ל- ‎40.

$$x=\frac{20}{-10}$$

חלק את ‎20 ב- ‎-10.

$$x=-2$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-20±40}{-10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎40 מ- ‎-20.

$$x=-\frac{60}{-10}$$

חלק את ‎-60 ב- ‎-10.

$$x=6$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-2 במקום x_{1} וב- ‎6 במקום x_{2}.

$$-5x^{2}+20x+60=-5\left(x-\left(-2\right)\right)\left(x-6\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$-5x^{2}+20x+60=-5\left(x+2\right)\left(x-6\right)$$

הערך

$$-5\left(x-6\right)\left(x+2\right)$$