פתור את P(x)=5x^2-6x+1=0

$$P ( x ) = 5 x ^ { 2 } - 6 x + 1 = 0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{1}{5}=0.2$$

$$x=1$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 5x^{2}+ax+bx+1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-6 ab=5\times 1=5$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. הצמד היחיד מסוג זה הוא פתרון המערכת.

$$a=-5 b=-1$$

שכתב את ‎5x^{2}-6x+1 כ- ‎\left(5x^{2}-5x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(-x+1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5x בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$5x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-1\right)\left(5x-1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-1=0 ו- 5x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}-6x+1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- -6 במקום b, וב- 1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

‎-6 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 5}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-20}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎36 ל- ‎-20.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{16}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 16.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±4}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-6 הוא ‎6.

$$x=\frac{6±4}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{6±4}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{6±4}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎6 ל- ‎4.

$$x=\frac{10}{10}$$

חלק את ‎10 ב- ‎10.

$$x=1$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{6±4}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4 מ- ‎6.

$$x=\frac{2}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{2}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{1}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=1 x=\frac{1}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-6x+1=0$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}-6x+1-1=-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}-6x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}-6x}{5}=-\frac{1}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x=-\frac{1}{5}$$

חלק את ‎-\frac{6}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{3}{5}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{3}{5} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{3}{5} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{25}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{5} ל- ‎\frac{9}{25} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{4}{25}$$

פרק x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{25}}$$

פשט.

$$x-\frac{3}{5}=\frac{2}{5} x-\frac{3}{5}=-\frac{2}{5}$$

הוסף ‎\frac{3}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$x=1 x=\frac{1}{5}$$