פתור את 9y^2+75y-54

$$9 y ^ { 2 } + 75 y - 54$$

פרק לגורמים

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 3.

$$3\left(3y^{2}+25y-18\right)$$

שקול את 3y^{2}+25y-18. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3y^{2}+ay+by-18. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=25 ab=3\left(-18\right)=-54$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -54.

$$-1,54 -2,27 -3,18 -6,9$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+54=53 -2+27=25 -3+18=15 -6+9=3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 25.

$$a=-2 b=27$$

שכתב את ‎3y^{2}+25y-18 כ- ‎\left(3y^{2}-2y\right)+\left(27y-18\right).

$$\left(3y^{2}-2y\right)+\left(27y-18\right)$$

הוצא את הגורם המשותף y בקבוצה הראשונה ואת 9 בקבוצה השניה.

$$y\left(3y-2\right)+9\left(3y-2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3y-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$9y^{2}+75y-54=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$y=\frac{-75±\sqrt{75^{2}-4\times 9\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

‎75 בריבוע.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625-4\times 9\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625-36\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎-54.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625+1944}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎5625 ל- ‎1944.

$$y=\frac{-75±\sqrt{7569}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 7569.

$$y=\frac{-75±87}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$y=\frac{-75±87}{18}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-75±87}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-75 ל- ‎87.

$$y=\frac{12}{18}$$

צמצם את השבר ‎\frac{12}{18} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$y=\frac{2}{3}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-75±87}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎87 מ- ‎-75.

$$y=-\frac{162}{18}$$

חלק את ‎-162 ב- ‎18.

$$y=-9$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{2}{3} במקום x_{1} וב- ‎-9 במקום x_{2}.

$$9y^{2}+75y-54=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y-\left(-9\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$9y^{2}+75y-54=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y+9\right)$$

החסר את y מ- \frac{2}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$9y^{2}+75y-54=9\times \frac{3y-2}{3}\left(y+9\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎9 ו- ‎3.

$$9y^{2}+75y-54=3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

הערך

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$