פתור את 9x^2-6x+3=0

$$9 x ^ { 2 } - 6 x + 3 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{2}i}{3}\approx 0.333333333+0.471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i+1}{3}\approx 0.333333333-0.471404521i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$9x^{2}-6x+3=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 9 במקום a, ב- -6 במקום b, וב- 3 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 9\times 3}}{2\times 9}$$

‎-6 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 9\times 3}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-36\times 3}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎3.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-108}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎36 ל- ‎-108.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-72}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של -72.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±6\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

ההופכי של ‎-6 הוא ‎6.

$$x=\frac{6±6\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$x=\frac{6±6\sqrt{2}i}{18}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{6±6\sqrt{2}i}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎6 ל- ‎6i\sqrt{2}.

$$x=\frac{6+6\sqrt{2}i}{18}$$

חלק את ‎6+6i\sqrt{2} ב- ‎18.

$$x=\frac{1+\sqrt{2}i}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{6±6\sqrt{2}i}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎6i\sqrt{2} מ- ‎6.

$$x=\frac{-6\sqrt{2}i+6}{18}$$

חלק את ‎6-6i\sqrt{2} ב- ‎18.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i+1}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i+1}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-6x+3=0$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$9x^{2}-6x+3-3=-3$$

החסרת 3 מעצמו נותנת 0.

$$9x^{2}-6x=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$\frac{9x^{2}-6x}{9}=-\frac{3}{9}$$

חילוק ב- ‎9 מבטל את ההכפלה ב- ‎9.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{9}\right)x=-\frac{3}{9}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-6}{9} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{3}{9}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-3}{9} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

חלק את ‎-\frac{2}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{3} ל- ‎\frac{1}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

פרק x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

הוסף ‎\frac{1}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i+1}{3}$$