פתור את 9x^2+42x+49

$$9 x ^ { 2 } + 42 x + 49$$

פרק לגורמים

$$\left(3x+7\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 9x^{2}+ax+bx+49. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=42 ab=9\times 49=441$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 441.

$$1,441 3,147 7,63 9,49 21,21$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+441=442 3+147=150 7+63=70 9+49=58 21+21=42$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 42.

$$a=21 b=21$$

שכתב את ‎9x^{2}+42x+49 כ- ‎\left(9x^{2}+21x\right)+\left(21x+49\right).

$$\left(9x^{2}+21x\right)+\left(21x+49\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 7 בקבוצה השניה.

$$3x\left(3x+7\right)+7\left(3x+7\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x+7 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x+7\right)\left(3x+7\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(3x+7\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(9x^{2}+42x+49)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(9,42,49)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 9x^{2}.

$$\sqrt{9x^{2}}=3x$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר הנגרר, 49.

$$\sqrt{49}=7$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(3x+7\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$9x^{2}+42x+49=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

‎42 בריבוע.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-36\times 49}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎49.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-1764}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎1764 ל- ‎-1764.

$$x=\frac{-42±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$x=\frac{-42±0}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$x=\frac{-42±0}{18}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{7}{3} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{7}{3} במקום x_{2}.

$$9x^{2}+42x+49=9\left(x-\left(-\frac{7}{3}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{7}{3}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$9x^{2}+42x+49=9\left(x+\frac{7}{3}\right)\left(x+\frac{7}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{7}{3} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$9x^{2}+42x+49=9\times \frac{3x+7}{3}\left(x+\frac{7}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{7}{3} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$9x^{2}+42x+49=9\times \frac{3x+7}{3}\times \frac{3x+7}{3}$$

הכפל את ‎\frac{3x+7}{3} ב- ‎\frac{3x+7}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$9x^{2}+42x+49=9\times \frac{\left(3x+7\right)\left(3x+7\right)}{3\times 3}$$

הכפל את ‎3 ב- ‎3.

$$9x^{2}+42x+49=9\times \frac{\left(3x+7\right)\left(3x+7\right)}{9}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎9 ב- ‎9 ו- ‎9.

$$9x^{2}+42x+49=\left(3x+7\right)\left(3x+7\right)$$

הערך

$$\left(3x+7\right)^{2}$$