פתור את 9n^2-33n-1456=0

$$9 n ^ { 2 } - 33 n - 1456 = 0$$

פתור עבור n

$$n = \frac{\sqrt{5945} + 11}{6} \approx 14.683971017$$

$$n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}\approx -11.017304351$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$9n^{2}-33n-1456=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 9 במקום a, ב- -33 במקום b, וב- -1456 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{\left(-33\right)^{2}-4\times 9\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

‎-33 בריבוע.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-4\times 9\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-36\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎-1456.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089+52416}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎1089 ל- ‎52416.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{53505}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 53505.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±3\sqrt{5945}}{2\times 9}$$

ההופכי של ‎-33 הוא ‎33.

$$n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎33 ל- ‎3\sqrt{5945}.

$$n=\frac{3\sqrt{5945}+33}{18}$$

חלק את ‎33+3\sqrt{5945} ב- ‎18.

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎3\sqrt{5945} מ- ‎33.

$$n=\frac{33-3\sqrt{5945}}{18}$$

חלק את ‎33-3\sqrt{5945} ב- ‎18.

$$n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6} n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$9n^{2}-33n-1456=0$$

הוסף ‎1456 לשני אגפי המשוואה.

$$9n^{2}-33n-1456-\left(-1456\right)=-\left(-1456\right)$$

החסרת -1456 מעצמו נותנת 0.

$$9n^{2}-33n=-\left(-1456\right)$$

החסר ‎-1456 מ- ‎0.

$$9n^{2}-33n=1456$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$\frac{9n^{2}-33n}{9}=\frac{1456}{9}$$

חילוק ב- ‎9 מבטל את ההכפלה ב- ‎9.

$$n^{2}+\left(-\frac{33}{9}\right)n=\frac{1456}{9}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-33}{9} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n=\frac{1456}{9}$$

חלק את ‎-\frac{11}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{11}{6}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{11}{6} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{1456}{9}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{11}{6} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{1456}{9}+\frac{121}{36}$$

הוסף את ‎\frac{1456}{9} ל- ‎\frac{121}{36} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{5945}{36}$$

פרק n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{5945}{36}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5945}{36}}$$

פשט.

$$n-\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{5945}}{6} n-\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{5945}}{6}$$

הוסף ‎\frac{11}{6} לשני אגפי המשוואה.

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6} n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$