פתור את 9x^2-81x+50

$$9 { x }^{ 2 } -81x+50$$

פרק לגורמים

$$\left(3x-25\right)\left(3x-2\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 9x^{2}+ax+bx+50. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-81 ab=9\times 50=450$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 450.

$$-1,-450 -2,-225 -3,-150 -5,-90 -6,-75 -9,-50 -10,-45 -15,-30 -18,-25$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-450=-451 -2-225=-227 -3-150=-153 -5-90=-95 -6-75=-81 -9-50=-59 -10-45=-55 -15-30=-45 -18-25=-43$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -81.

$$a=-75 b=-6$$

שכתב את ‎9x^{2}-81x+50 כ- ‎\left(9x^{2}-75x\right)+\left(-6x+50\right).

$$\left(9x^{2}-75x\right)+\left(-6x+50\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת -2 בקבוצה השניה.

$$3x\left(3x-25\right)-2\left(3x-25\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-25 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-25\right)\left(3x-2\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$9x^{2}-81x+50=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-81\right)±\sqrt{\left(-81\right)^{2}-4\times 9\times 50}}{2\times 9}$$

‎-81 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-81\right)±\sqrt{6561-4\times 9\times 50}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$x=\frac{-\left(-81\right)±\sqrt{6561-36\times 50}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎50.

$$x=\frac{-\left(-81\right)±\sqrt{6561-1800}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎6561 ל- ‎-1800.

$$x=\frac{-\left(-81\right)±\sqrt{4761}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 4761.

$$x=\frac{-\left(-81\right)±69}{2\times 9}$$

ההופכי של ‎-81 הוא ‎81.

$$x=\frac{81±69}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$x=\frac{81±69}{18}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{81±69}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎81 ל- ‎69.

$$x=\frac{150}{18}$$

צמצם את השבר ‎\frac{150}{18} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=\frac{25}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{81±69}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎69 מ- ‎81.

$$x=\frac{12}{18}$$

צמצם את השבר ‎\frac{12}{18} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=\frac{2}{3}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{25}{3} במקום x_{1} וב- ‎\frac{2}{3} במקום x_{2}.

$$9x^{2}-81x+50=9\left(x-\frac{25}{3}\right)\left(x-\frac{2}{3}\right)$$

החסר את x מ- \frac{25}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$9x^{2}-81x+50=9\times \frac{3x-25}{3}\left(x-\frac{2}{3}\right)$$

החסר את x מ- \frac{2}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$9x^{2}-81x+50=9\times \frac{3x-25}{3}\times \frac{3x-2}{3}$$

הכפל את ‎\frac{3x-25}{3} ב- ‎\frac{3x-2}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$9x^{2}-81x+50=9\times \frac{\left(3x-25\right)\left(3x-2\right)}{3\times 3}$$

הכפל את ‎3 ב- ‎3.

$$9x^{2}-81x+50=9\times \frac{\left(3x-25\right)\left(3x-2\right)}{9}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎9 ב- ‎9 ו- ‎9.

$$9x^{2}-81x+50=\left(3x-25\right)\left(3x-2\right)$$

הערך

$$\left(3x-25\right)\left(3x-2\right)$$