פתור את 9x^2-12x+4=0

$$9 { x }^{ 2 } -12x+4=0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 9x^{2}+ax+bx+4. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -12.

$$a=-6 b=-6$$

שכתב את ‎9x^{2}-12x+4 כ- ‎\left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right).

$$\left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת -2 בקבוצה השניה.

$$3x\left(3x-2\right)-2\left(3x-2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-2\right)\left(3x-2\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(3x-2\right)^{2}$$

כדי למצוא פתרון משוואה, פתור את 3x-2=0.

$$x=\frac{2}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 9 במקום a, ב- -12 במקום b, וב- 4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

‎-12 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎144 ל- ‎-144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$x=-\frac{-12}{2\times 9}$$

ההופכי של ‎-12 הוא ‎12.

$$x=\frac{12}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$x=\frac{12}{18}$$

צמצם את השבר ‎\frac{12}{18} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=\frac{2}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$9x^{2}-12x+4-4=-4$$

החסרת 4 מעצמו נותנת 0.

$$9x^{2}-12x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=-\frac{4}{9}$$

חילוק ב- ‎9 מבטל את ההכפלה ב- ‎9.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=-\frac{4}{9}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-12}{9} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{4}{9}$$

חלק את ‎-\frac{4}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{2}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{2}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{2}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

הוסף את ‎-\frac{4}{9} ל- ‎\frac{4}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=0$$

פרק x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

פשט.

$$x-\frac{2}{3}=0 x-\frac{2}{3}=0$$

הוסף ‎\frac{2}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{2}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת. הפתרונות זהים.

$$x=\frac{2}{3}$$