פתור את 9x^2+7x-2=0

$$9 { x }^{ 2 } +7x-2=0$$

פתור עבור x

$$x=-1$$

$$x=\frac{2}{9}\approx 0.222222222$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 9x^{2}+ax+bx-2. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=7 ab=9\left(-2\right)=-18$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -18.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 7.

$$a=-2 b=9$$

שכתב את ‎9x^{2}+7x-2 כ- ‎\left(9x^{2}-2x\right)+\left(9x-2\right).

$$\left(9x^{2}-2x\right)+\left(9x-2\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x ב- 9x^{2}-2x.

$$x\left(9x-2\right)+9x-2$$

הוצא את האיבר המשותף 9x-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(9x-2\right)\left(x+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 9x-2=0 ו- x+1=0.

$$x=\frac{2}{9} x=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$9x^{2}+7x-2=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 9 במקום a, ב- 7 במקום b, וב- -2 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

‎7 בריבוע.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎-2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+72}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎72.

$$x=\frac{-7±\sqrt{121}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 121.

$$x=\frac{-7±11}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$x=\frac{-7±11}{18}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±11}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-7 ל- ‎11.

$$x=\frac{4}{18}$$

צמצם את השבר ‎\frac{4}{18} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{2}{9}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±11}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎11 מ- ‎-7.

$$x=-\frac{18}{18}$$

חלק את ‎-18 ב- ‎18.

$$x=-1$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{2}{9} x=-1$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+7x-2=0$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$9x^{2}+7x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

החסרת -2 מעצמו נותנת 0.

$$9x^{2}+7x=-\left(-2\right)$$

החסר ‎-2 מ- ‎0.

$$9x^{2}+7x=2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{2}{9}$$

חילוק ב- ‎9 מבטל את ההכפלה ב- ‎9.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{2}{9}$$

חלק את ‎\frac{7}{9}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{7}{18}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{7}{18} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{2}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{7}{18} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{2}{9}+\frac{49}{324}$$

הוסף את ‎\frac{2}{9} ל- ‎\frac{49}{324} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{121}{324}$$

פרק x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{121}{324}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{324}}$$

פשט.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{11}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{11}{18}$$

החסר ‎\frac{7}{18} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{2}{9} x=-1$$