פתור את 8x^2+2x=21

$$8 x ^ { 2 } + 2 x = 21$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החסר ‎21 משני האגפים.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 8x^{2}+ax+bx-21. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=2 ab=8\left(-21\right)=-168$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -168.

$$-1,168 -2,84 -3,56 -4,42 -6,28 -7,24 -8,21 -12,14$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+168=167 -2+84=82 -3+56=53 -4+42=38 -6+28=22 -7+24=17 -8+21=13 -12+14=2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 2.

$$a=-12 b=14$$

שכתב את ‎8x^{2}+2x-21 כ- ‎\left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right).

$$\left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4x בקבוצה הראשונה ואת 7 בקבוצה השניה.

$$4x\left(2x-3\right)+7\left(2x-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-3\right)\left(4x+7\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2x-3=0 ו- 4x+7=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$8x^{2}+2x=21$$

החסר ‎21 משני אגפי המשוואה.

$$8x^{2}+2x-21=21-21$$

החסרת 21 מעצמו נותנת 0.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 8 במקום a, ב- 2 במקום b, וב- -21 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

‎2 בריבוע.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-32\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-32 ב- ‎-21.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+672}}{2\times 8}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎672.

$$x=\frac{-2±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

הוצא את השורש הריבועי של 676.

$$x=\frac{-2±26}{2\times 8}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎8.

$$x=\frac{-2±26}{16}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-2±26}{16} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-2 ל- ‎26.

$$x=\frac{24}{16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{24}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$x=\frac{3}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-2±26}{16} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎26 מ- ‎-2.

$$x=-\frac{28}{16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-28}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=-\frac{7}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+2x=21$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$\frac{8x^{2}+2x}{8}=\frac{21}{8}$$

חילוק ב- ‎8 מבטל את ההכפלה ב- ‎8.

$$x^{2}+\frac{2}{8}x=\frac{21}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{2}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{21}{8}$$

חלק את ‎\frac{1}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{1}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{1}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{21}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{1}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{21}{8}+\frac{1}{64}$$

הוסף את ‎\frac{21}{8} ל- ‎\frac{1}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{169}{64}$$

פרק x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

פשט.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{13}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{13}{8}$$

החסר ‎\frac{1}{8} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$