פתור את 8x^2+10x-3

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 3$$

פרק לגורמים

$$\left(4x-1\right)\left(2x+3\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 8x^{2}+ax+bx-3. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=10 ab=8\left(-3\right)=-24$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 10.

$$a=-2 b=12$$

שכתב את ‎8x^{2}+10x-3 כ- ‎\left(8x^{2}-2x\right)+\left(12x-3\right).

$$\left(8x^{2}-2x\right)+\left(12x-3\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$2x\left(4x-1\right)+3\left(4x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 4x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4x-1\right)\left(2x+3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}+10x-3=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

‎10 בריבוע.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

הכפל את ‎-32 ב- ‎-3.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 8}$$

הוסף את ‎100 ל- ‎96.

$$x=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 8}$$

הוצא את השורש הריבועי של 196.

$$x=\frac{-10±14}{2\times 8}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎8.

$$x=\frac{-10±14}{16}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-10±14}{16} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-10 ל- ‎14.

$$x=\frac{4}{16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{4}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=\frac{1}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-10±14}{16} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎14 מ- ‎-10.

$$x=-\frac{24}{16}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-24}{16} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$x=-\frac{3}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{1}{4} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{3}{2} במקום x_{2}.

$$8x^{2}+10x-3=8\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$8x^{2}+10x-3=8\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

החסר את x מ- \frac{1}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$8x^{2}+10x-3=8\times \frac{4x-1}{4}\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{3}{2} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$8x^{2}+10x-3=8\times \frac{4x-1}{4}\times \frac{2x+3}{2}$$

הכפל את ‎\frac{4x-1}{4} ב- ‎\frac{2x+3}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$8x^{2}+10x-3=8\times \frac{\left(4x-1\right)\left(2x+3\right)}{4\times 2}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎2.

$$8x^{2}+10x-3=8\times \frac{\left(4x-1\right)\left(2x+3\right)}{8}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎8 ב- ‎8 ו- ‎8.

$$8x^{2}+10x-3=\left(4x-1\right)\left(2x+3\right)$$

הערך

$$\left(4x-1\right)\left(2x+3\right)$$