פתור את 70x^2-3x-1

$$70 x ^ { 2 } - 3 x - 1$$

פרק לגורמים

$$\left(7x-1\right)\left(10x+1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 70x^{2}+ax+bx-1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-3 ab=70\left(-1\right)=-70$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -70.

$$1,-70 2,-35 5,-14 7,-10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-70=-69 2-35=-33 5-14=-9 7-10=-3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -3.

$$a=-10 b=7$$

שכתב את ‎70x^{2}-3x-1 כ- ‎\left(70x^{2}-10x\right)+\left(7x-1\right).

$$\left(70x^{2}-10x\right)+\left(7x-1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 10x ב- 70x^{2}-10x.

$$10x\left(7x-1\right)+7x-1$$

הוצא את האיבר המשותף 7x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(7x-1\right)\left(10x+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$70x^{2}-3x-1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 70\left(-1\right)}}{2\times 70}$$

‎-3 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 70\left(-1\right)}}{2\times 70}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎70.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-280\left(-1\right)}}{2\times 70}$$

הכפל את ‎-280 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+280}}{2\times 70}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎280.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{289}}{2\times 70}$$

הוצא את השורש הריבועי של 289.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±17}{2\times 70}$$

ההופכי של ‎-3 הוא ‎3.

$$x=\frac{3±17}{2\times 70}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎70.

$$x=\frac{3±17}{140}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{3±17}{140} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎3 ל- ‎17.

$$x=\frac{20}{140}$$

צמצם את השבר ‎\frac{20}{140} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 20.

$$x=\frac{1}{7}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{3±17}{140} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎17 מ- ‎3.

$$x=-\frac{14}{140}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-14}{140} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 14.

$$x=-\frac{1}{10}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{1}{7} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{1}{10} במקום x_{2}.

$$70x^{2}-3x-1=70\left(x-\frac{1}{7}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{10}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$70x^{2}-3x-1=70\left(x-\frac{1}{7}\right)\left(x+\frac{1}{10}\right)$$

החסר את x מ- \frac{1}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$70x^{2}-3x-1=70\times \frac{7x-1}{7}\left(x+\frac{1}{10}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{10} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$70x^{2}-3x-1=70\times \frac{7x-1}{7}\times \frac{10x+1}{10}$$

הכפל את ‎\frac{7x-1}{7} ב- ‎\frac{10x+1}{10} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$70x^{2}-3x-1=70\times \frac{\left(7x-1\right)\left(10x+1\right)}{7\times 10}$$

הכפל את ‎7 ב- ‎10.

$$70x^{2}-3x-1=70\times \frac{\left(7x-1\right)\left(10x+1\right)}{70}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎70 ב- ‎70 ו- ‎70.

$$70x^{2}-3x-1=\left(7x-1\right)\left(10x+1\right)$$

הערך

$$\left(7x-1\right)\left(10x+1\right)$$