פתור את 7t^2-32t+12=0

$$7 t ^ { 2 } - 32 t + 12 = 0$$

פתור עבור t

$$t = \frac{2 \sqrt{43} + 16}{7} \approx 4.15926815$$

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}\approx 0.412160422$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 7 במקום a, ב- -32 במקום b, וב- 12 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

‎-32 בריבוע.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎7.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\times 12}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎-28 ב- ‎12.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-336}}{2\times 7}$$

הוסף את ‎1024 ל- ‎-336.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{688}}{2\times 7}$$

הוצא את השורש הריבועי של 688.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

ההופכי של ‎-32 הוא ‎32.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎7.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎32 ל- ‎4\sqrt{43}.

$$t=\frac{4\sqrt{43}+32}{14}$$

חלק את ‎32+4\sqrt{43} ב- ‎14.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7}$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4\sqrt{43} מ- ‎32.

$$t=\frac{32-4\sqrt{43}}{14}$$

חלק את ‎32-4\sqrt{43} ב- ‎14.

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$7t^{2}-32t+12-12=-12$$

החסרת 12 מעצמו נותנת 0.

$$7t^{2}-32t=-12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$\frac{7t^{2}-32t}{7}=-\frac{12}{7}$$

חילוק ב- ‎7 מבטל את ההכפלה ב- ‎7.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t=-\frac{12}{7}$$

חלק את ‎-\frac{32}{7}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{16}{7}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{16}{7} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=-\frac{12}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{16}{7} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=-\frac{12}{7}+\frac{256}{49}$$

הוסף את ‎-\frac{12}{7} ל- ‎\frac{256}{49} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=\frac{172}{49}$$

פרק t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{172}{49}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{172}{49}}$$

פשט.

$$t-\frac{16}{7}=\frac{2\sqrt{43}}{7} t-\frac{16}{7}=-\frac{2\sqrt{43}}{7}$$

הוסף ‎\frac{16}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$