פתור את 7n^2-121n-128-3728geq0

$$7 n ^ { 2 } - 121 n - 128 - 3728 \geq 0$$

פתור עבור n

$$n\in (-\infty,\frac{121-\sqrt{122609}}{14}]\cup [\frac{\sqrt{122609}+121}{14},\infty)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

החסר את 3728 מ- -128 כדי לקבל -3856.

$$7n^{2}-121n-3856\geq 0$$

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$7n^{2}-121n-3856=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎7 ב- a, את ‎-121 ב- b ואת ‎-3856 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$n=\frac{-\left(-121\right)±\sqrt{\left(-121\right)^{2}-4\times 7\left(-3856\right)}}{2\times 7}$$

בצע את החישובים.

$$n=\frac{121±\sqrt{122609}}{14}$$

פתור את המשוואה ‎n=\frac{121±\sqrt{122609}}{14} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$n=\frac{\sqrt{122609}+121}{14} n=\frac{121-\sqrt{122609}}{14}$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$7\left(n-\frac{\sqrt{122609}+121}{14}\right)\left(n-\frac{121-\sqrt{122609}}{14}\right)\geq 0$$

כדי שהמכפלה תהיה ≥0‏, ‎n-\frac{\sqrt{122609}+121}{14} ו- ‎n-\frac{121-\sqrt{122609}}{14} חייבים שניהם להיות ≤0 או ≥0. שקול את המקרה כאשר ‎n-\frac{\sqrt{122609}+121}{14} ו- ‎n-\frac{121-\sqrt{122609}}{14} שניהם ≤0.

$$n-\frac{\sqrt{122609}+121}{14}\leq 0 n-\frac{121-\sqrt{122609}}{14}\leq 0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎n\leq \frac{121-\sqrt{122609}}{14}.

$$n\leq \frac{121-\sqrt{122609}}{14}$$

שקול את המקרה כאשר ‎n-\frac{\sqrt{122609}+121}{14} ו- ‎n-\frac{121-\sqrt{122609}}{14} שניהם ≥0.

$$n-\frac{121-\sqrt{122609}}{14}\geq 0 n-\frac{\sqrt{122609}+121}{14}\geq 0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎n\geq \frac{\sqrt{122609}+121}{14}.

$$n\geq \frac{\sqrt{122609}+121}{14}$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$n\leq \frac{121-\sqrt{122609}}{14}\text{; }n\geq \frac{\sqrt{122609}+121}{14}$$