פתור את 7n^2+39n-18=0

$$7 n ^ { 2 } + 39 n - 18 = 0$$

פתור עבור n

$$n=-6$$

$$n=\frac{3}{7}\approx 0.428571429$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 7n^{2}+an+bn-18. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=39 ab=7\left(-18\right)=-126$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -126.

$$-1,126 -2,63 -3,42 -6,21 -7,18 -9,14$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+126=125 -2+63=61 -3+42=39 -6+21=15 -7+18=11 -9+14=5$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 39.

$$a=-3 b=42$$

שכתב את ‎7n^{2}+39n-18 כ- ‎\left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right).

$$\left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right)$$

הוצא את הגורם המשותף n בקבוצה הראשונה ואת 6 בקבוצה השניה.

$$n\left(7n-3\right)+6\left(7n-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 7n-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(7n-3\right)\left(n+6\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 7n-3=0 ו- n+6=0.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$7n^{2}+39n-18=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 7 במקום a, ב- 39 במקום b, וב- -18 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

‎39 בריבוע.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎7.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-28\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎-28 ב- ‎-18.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521+504}}{2\times 7}$$

הוסף את ‎1521 ל- ‎504.

$$n=\frac{-39±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

הוצא את השורש הריבועי של 2025.

$$n=\frac{-39±45}{2\times 7}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎7.

$$n=\frac{-39±45}{14}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{-39±45}{14} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-39 ל- ‎45.

$$n=\frac{6}{14}$$

צמצם את השבר ‎\frac{6}{14} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$n=\frac{3}{7}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{-39±45}{14} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎45 מ- ‎-39.

$$n=-\frac{84}{14}$$

חלק את ‎-84 ב- ‎14.

$$n=-6$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$7n^{2}+39n-18=0$$

הוסף ‎18 לשני אגפי המשוואה.

$$7n^{2}+39n-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

החסרת -18 מעצמו נותנת 0.

$$7n^{2}+39n=-\left(-18\right)$$

החסר ‎-18 מ- ‎0.

$$7n^{2}+39n=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$\frac{7n^{2}+39n}{7}=\frac{18}{7}$$

חילוק ב- ‎7 מבטל את ההכפלה ב- ‎7.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n=\frac{18}{7}$$

חלק את ‎\frac{39}{7}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{39}{14}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{39}{14} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{18}{7}+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{39}{14} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{18}{7}+\frac{1521}{196}$$

הוסף את ‎\frac{18}{7} ל- ‎\frac{1521}{196} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{2025}{196}$$

פרק n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

פשט.

$$n+\frac{39}{14}=\frac{45}{14} n+\frac{39}{14}=-\frac{45}{14}$$

החסר ‎\frac{39}{14} משני אגפי המשוואה.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$