פתור את 6b^2-27b-15

$$6 b ^ { 2 } - 27 b - 15$$

פרק לגורמים

$$3\left(b-5\right)\left(2b+1\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 3.

$$3\left(2b^{2}-9b-5\right)$$

שקול את 2b^{2}-9b-5. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2b^{2}+pb+qb-5. כדי למצוא את p ו- q, הגדר מערכת לפתרון.

$$p+q=-9 pq=2\left(-5\right)=-10$$

מאחר ש- pq הוא שלילי, ל- p ול- q יש סימנים הפוכים. מאחר ש- p+q הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -10.

$$1,-10 2,-5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -9.

$$p=-10 q=1$$

שכתב את ‎2b^{2}-9b-5 כ- ‎\left(2b^{2}-10b\right)+\left(b-5\right).

$$\left(2b^{2}-10b\right)+\left(b-5\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2b ב- 2b^{2}-10b.

$$2b\left(b-5\right)+b-5$$

הוצא את האיבר המשותף b-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(b-5\right)\left(2b+1\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$3\left(b-5\right)\left(2b+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$6b^{2}-27b-15=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$b=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

‎-27 בריבוע.

$$b=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎6.

$$b=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-24 ב- ‎-15.

$$b=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729+360}}{2\times 6}$$

הוסף את ‎729 ל- ‎360.

$$b=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{1089}}{2\times 6}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1089.

$$b=\frac{-\left(-27\right)±33}{2\times 6}$$

ההופכי של ‎-27 הוא ‎27.

$$b=\frac{27±33}{2\times 6}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎6.

$$b=\frac{27±33}{12}$$

כעת פתור את המשוואה b=\frac{27±33}{12} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎27 ל- ‎33.

$$b=\frac{60}{12}$$

חלק את ‎60 ב- ‎12.

$$b=5$$

כעת פתור את המשוואה b=\frac{27±33}{12} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎33 מ- ‎27.

$$b=-\frac{6}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-6}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$b=-\frac{1}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎5 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{1}{2} במקום x_{2}.

$$6b^{2}-27b-15=6\left(b-5\right)\left(b-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$6b^{2}-27b-15=6\left(b-5\right)\left(b+\frac{1}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎b על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6b^{2}-27b-15=6\left(b-5\right)\times \frac{2b+1}{2}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎6 ו- ‎2.

$$6b^{2}-27b-15=3\left(b-5\right)\left(2b+1\right)$$

הערך

$$3\left(b-5\right)\left(2b+1\right)$$