פתור את 6x^2+37x-13=0

$$6 { x }^{ 2 } +37x-13=0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{13}{2} = -6\frac{1}{2} = -6.5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 6x^{2}+ax+bx-13. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=37 ab=6\left(-13\right)=-78$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -78.

$$-1,78 -2,39 -3,26 -6,13$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+78=77 -2+39=37 -3+26=23 -6+13=7$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 37.

$$a=-2 b=39$$

שכתב את ‎6x^{2}+37x-13 כ- ‎\left(6x^{2}-2x\right)+\left(39x-13\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(39x-13\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 13 בקבוצה השניה.

$$2x\left(3x-1\right)+13\left(3x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+13\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 3x-1=0 ו- 2x+13=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{13}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$6x^{2}+37x-13=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 6 במקום a, ב- 37 במקום b, וב- -13 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-37±\sqrt{37^{2}-4\times 6\left(-13\right)}}{2\times 6}$$

‎37 בריבוע.

$$x=\frac{-37±\sqrt{1369-4\times 6\left(-13\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎6.

$$x=\frac{-37±\sqrt{1369-24\left(-13\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-24 ב- ‎-13.

$$x=\frac{-37±\sqrt{1369+312}}{2\times 6}$$

הוסף את ‎1369 ל- ‎312.

$$x=\frac{-37±\sqrt{1681}}{2\times 6}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1681.

$$x=\frac{-37±41}{2\times 6}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎6.

$$x=\frac{-37±41}{12}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-37±41}{12} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-37 ל- ‎41.

$$x=\frac{4}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{4}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-37±41}{12} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎41 מ- ‎-37.

$$x=-\frac{78}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-78}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=-\frac{13}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{13}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+37x-13=0$$

הוסף ‎13 לשני אגפי המשוואה.

$$6x^{2}+37x-13-\left(-13\right)=-\left(-13\right)$$

החסרת -13 מעצמו נותנת 0.

$$6x^{2}+37x=-\left(-13\right)$$

החסר ‎-13 מ- ‎0.

$$6x^{2}+37x=13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$\frac{6x^{2}+37x}{6}=\frac{13}{6}$$

חילוק ב- ‎6 מבטל את ההכפלה ב- ‎6.

$$x^{2}+\frac{37}{6}x=\frac{13}{6}$$

חלק את ‎\frac{37}{6}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{37}{12}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{37}{12} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{37}{6}x+\left(\frac{37}{12}\right)^{2}=\frac{13}{6}+\left(\frac{37}{12}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{37}{12} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{37}{6}x+\frac{1369}{144}=\frac{13}{6}+\frac{1369}{144}$$

הוסף את ‎\frac{13}{6} ל- ‎\frac{1369}{144} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{37}{6}x+\frac{1369}{144}=\frac{1681}{144}$$

פרק x^{2}+\frac{37}{6}x+\frac{1369}{144} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{37}{12}\right)^{2}=\frac{1681}{144}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{37}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{144}}$$

פשט.

$$x+\frac{37}{12}=\frac{41}{12} x+\frac{37}{12}=-\frac{41}{12}$$

החסר ‎\frac{37}{12} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{13}{2}$$