פתור את 6x^2+19x-7=0

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 6x^{2}+ax+bx-7. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 19.

$$a=-2 b=21$$

שכתב את ‎6x^{2}+19x-7 כ- ‎\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 7 בקבוצה השניה.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 3x-1=0 ו- 2x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 6 במקום a, ב- 19 במקום b, וב- -7 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

‎19 בריבוע.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-24 ב- ‎-7.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

הוסף את ‎361 ל- ‎168.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

הוצא את השורש הריבועי של 529.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎6.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-19±23}{12} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-19 ל- ‎23.

$$x=\frac{4}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{4}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-19±23}{12} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎23 מ- ‎-19.

$$x=-\frac{42}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-42}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=-\frac{7}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

הוסף ‎7 לשני אגפי המשוואה.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

החסרת -7 מעצמו נותנת 0.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

החסר ‎-7 מ- ‎0.

$$6x^{2}+19x=7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

חילוק ב- ‎6 מבטל את ההכפלה ב- ‎6.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

חלק את ‎\frac{19}{6}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{19}{12}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{19}{12} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{19}{12} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

הוסף את ‎\frac{7}{6} ל- ‎\frac{361}{144} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

פרק x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

פשט.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

החסר ‎\frac{19}{12} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$