פתור את 56x^2-30x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -30x+1=0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{1}{28}\approx 0.035714286$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 56x^{2}+ax+bx+1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-30 ab=56\times 1=56$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 56.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -30.

$$a=-28 b=-2$$

שכתב את ‎56x^{2}-30x+1 כ- ‎\left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 28x בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$28x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-1\right)\left(28x-1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2x-1=0 ו- 28x-1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 56 במקום a, ב- -30 במקום b, וב- 1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

‎-30 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 56}}{2\times 56}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎56.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 56}$$

הוסף את ‎900 ל- ‎-224.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 56}$$

הוצא את השורש הריבועי של 676.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 56}$$

ההופכי של ‎-30 הוא ‎30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 56}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎56.

$$x=\frac{30±26}{112}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{30±26}{112} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎30 ל- ‎26.

$$x=\frac{56}{112}$$

צמצם את השבר ‎\frac{56}{112} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 56.

$$x=\frac{1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{30±26}{112} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎26 מ- ‎30.

$$x=\frac{4}{112}$$

צמצם את השבר ‎\frac{4}{112} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=\frac{1}{28}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$56x^{2}-30x+1-1=-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$56x^{2}-30x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎56.

$$\frac{56x^{2}-30x}{56}=-\frac{1}{56}$$

חילוק ב- ‎56 מבטל את ההכפלה ב- ‎56.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-30}{56} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x=-\frac{1}{56}$$

חלק את ‎-\frac{15}{28}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{15}{56}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{15}{56} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{15}{56} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=-\frac{1}{56}+\frac{225}{3136}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{56} ל- ‎\frac{225}{3136} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=\frac{169}{3136}$$

פרק x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}=\frac{169}{3136}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{3136}}$$

פשט.

$$x-\frac{15}{56}=\frac{13}{56} x-\frac{15}{56}=-\frac{13}{56}$$

הוסף ‎\frac{15}{56} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$