פתור את 5x^2-4x-1=0

$$5 x ^ { 2 } - 4 x - 1 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$x=1$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 5x^{2}+ax+bx-1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-4 ab=5\left(-1\right)=-5$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. הצמד היחיד מסוג זה הוא פתרון המערכת.

$$a=-5 b=1$$

שכתב את ‎5x^{2}-4x-1 כ- ‎\left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5x ב- 5x^{2}-5x.

$$5x\left(x-1\right)+x-1$$

הוצא את האיבר המשותף x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-1\right)\left(5x+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-1=0 ו- 5x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- -4 במקום b, וב- -1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

‎-4 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+20}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{36}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 36.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±6}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-4 הוא ‎4.

$$x=\frac{4±6}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{4±6}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{4±6}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎4 ל- ‎6.

$$x=\frac{10}{10}$$

חלק את ‎10 ב- ‎10.

$$x=1$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{4±6}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎6 מ- ‎4.

$$x=-\frac{2}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-2}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}-4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

החסרת -1 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}-4x=-\left(-1\right)$$

החסר ‎-1 מ- ‎0.

$$5x^{2}-4x=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=\frac{1}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=\frac{1}{5}$$

חלק את ‎-\frac{4}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{2}{5}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{2}{5} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{2}{5} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{1}{5}+\frac{4}{25}$$

הוסף את ‎\frac{1}{5} ל- ‎\frac{4}{25} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{9}{25}$$

פרק x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}$$

פשט.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{3}{5}$$

הוסף ‎\frac{2}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$