פתור את 5x^2-2x-16=0

$$5 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$x=2$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 5x^{2}+ax+bx-16. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-2 ab=5\left(-16\right)=-80$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -2.

$$a=-10 b=8$$

שכתב את ‎5x^{2}-2x-16 כ- ‎\left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5x בקבוצה הראשונה ואת 8 בקבוצה השניה.

$$5x\left(x-2\right)+8\left(x-2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-2\right)\left(5x+8\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-2=0 ו- 5x+8=0.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- -2 במקום b, וב- -16 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

‎-2 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-2 הוא ‎2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{2±18}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±18}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎2 ל- ‎18.

$$x=\frac{20}{10}$$

חלק את ‎20 ב- ‎10.

$$x=2$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±18}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎18 מ- ‎2.

$$x=-\frac{16}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-16}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

הוסף ‎16 לשני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

החסרת -16 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

החסר ‎-16 מ- ‎0.

$$5x^{2}-2x=16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=\frac{16}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{16}{5}$$

חלק את ‎-\frac{2}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{5}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{5} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{5} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{16}{5}+\frac{1}{25}$$

הוסף את ‎\frac{16}{5} ל- ‎\frac{1}{25} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{81}{25}$$

פרק x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{9}{5}$$

הוסף ‎\frac{1}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$