פתור את 5x^2-2x+1=0

$$5 x ^ { 2 } - 2 x + 1 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i=0.2+0.4i$$

$$x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i=0.2-0.4i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}-2x+1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- -2 במקום b, וב- 1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

‎-2 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-20.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-16}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4i}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-2 הוא ‎2.

$$x=\frac{2±4i}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{2±4i}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±4i}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎2 ל- ‎4i.

$$x=\frac{2+4i}{10}$$

חלק את ‎2+4i ב- ‎10.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±4i}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4i מ- ‎2.

$$x=\frac{2-4i}{10}$$

חלק את ‎2-4i ב- ‎10.

$$x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x+1=0$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}-2x+1-1=-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}-2x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=-\frac{1}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{1}{5}$$

חלק את ‎-\frac{2}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{5}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{5} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{5} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{1}{25}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{5} ל- ‎\frac{1}{25} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{4}{25}$$

פרק x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{4}{25}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{4}{25}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{2}{5}i x-\frac{1}{5}=-\frac{2}{5}i$$

הוסף ‎\frac{1}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$