פתור את 5x^2+7x+19=0

$$5 x ^ { 2 } + 7 x + 19 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-7+\sqrt{331}i}{10}\approx -0.7+1.81934054i$$

$$x=\frac{-\sqrt{331}i-7}{10}\approx -0.7-1.81934054i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}+7x+19=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- 7 במקום b, וב- 19 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 5\times 19}}{2\times 5}$$

‎7 בריבוע.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 5\times 19}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-20\times 19}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎19.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-380}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎-380.

$$x=\frac{-7±\sqrt{-331}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של -331.

$$x=\frac{-7±\sqrt{331}i}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{331}i}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±\sqrt{331}i}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-7 ל- ‎i\sqrt{331}.

$$x=\frac{-7+\sqrt{331}i}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±\sqrt{331}i}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎i\sqrt{331} מ- ‎-7.

$$x=\frac{-\sqrt{331}i-7}{10}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-7+\sqrt{331}i}{10} x=\frac{-\sqrt{331}i-7}{10}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+7x+19=0$$

החסר ‎19 משני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}+7x+19-19=-19$$

החסרת 19 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}+7x=-19$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}+7x}{5}=-\frac{19}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x=-\frac{19}{5}$$

חלק את ‎\frac{7}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{7}{10}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{7}{10} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}=-\frac{19}{5}+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{7}{10} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=-\frac{19}{5}+\frac{49}{100}$$

הוסף את ‎-\frac{19}{5} ל- ‎\frac{49}{100} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=-\frac{331}{100}$$

פרק x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{10}\right)^{2}=-\frac{331}{100}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{331}{100}}$$

פשט.

$$x+\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{331}i}{10} x+\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{331}i}{10}$$

החסר ‎\frac{7}{10} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{-7+\sqrt{331}i}{10} x=\frac{-\sqrt{331}i-7}{10}$$