פתור את 5t^2-72t-108=0

$$5 t ^ { 2 } - 72 t - 108 = 0$$

פתור עבור t

$$t = \frac{6 \sqrt{51} + 36}{5} \approx 15.769714114$$

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}\approx -1.369714114$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- -72 במקום b, וב- -108 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

‎-72 בריבוע.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-20\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-108.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184+2160}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎5184 ל- ‎2160.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{7344}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 7344.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-72 הוא ‎72.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎72 ל- ‎12\sqrt{51}.

$$t=\frac{12\sqrt{51}+72}{10}$$

חלק את ‎72+12\sqrt{51} ב- ‎10.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5}$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎12\sqrt{51} מ- ‎72.

$$t=\frac{72-12\sqrt{51}}{10}$$

חלק את ‎72-12\sqrt{51} ב- ‎10.

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

הוסף ‎108 לשני אגפי המשוואה.

$$5t^{2}-72t-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

החסרת -108 מעצמו נותנת 0.

$$5t^{2}-72t=-\left(-108\right)$$

החסר ‎-108 מ- ‎0.

$$5t^{2}-72t=108$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5t^{2}-72t}{5}=\frac{108}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t=\frac{108}{5}$$

חלק את ‎-\frac{72}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{36}{5}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{36}{5} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{108}{5}+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{36}{5} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{108}{5}+\frac{1296}{25}$$

הוסף את ‎\frac{108}{5} ל- ‎\frac{1296}{25} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{1836}{25}$$

פרק t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{1836}{25}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1836}{25}}$$

פשט.

$$t-\frac{36}{5}=\frac{6\sqrt{51}}{5} t-\frac{36}{5}=-\frac{6\sqrt{51}}{5}$$

הוסף ‎\frac{36}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$