פתור את 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20.8$$

$$x=21$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 5x^{2}+ax+bx-2184. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -10920.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -1.

$$a=-105 b=104$$

שכתב את ‎5x^{2}-x-2184 כ- ‎\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5x בקבוצה הראשונה ואת 104 בקבוצה השניה.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-21 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-21=0 ו- 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- -1 במקום b, וב- -2184 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-1 הוא ‎1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±209}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎1 ל- ‎209.

$$x=\frac{210}{10}$$

חלק את ‎210 ב- ‎10.

$$x=21$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±209}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎209 מ- ‎1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-208}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

הוסף ‎2184 לשני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

החסרת -2184 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

החסר ‎-2184 מ- ‎0.

$$5x^{2}-x=2184$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

חלק את ‎-\frac{1}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{10}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{10} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{10} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

הוסף את ‎\frac{2184}{5} ל- ‎\frac{1}{100} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

פרק x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

הוסף ‎\frac{1}{10} לשני אגפי המשוואה.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$