פתור את 5x^2-12x-7=0

$$5 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{71} + 6}{5} \approx 2.885229955$$

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}\approx -0.485229955$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- -12 במקום b, וב- -7 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

‎-12 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+140}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎144 ל- ‎140.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{284}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 284.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-12 הוא ‎12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎12 ל- ‎2\sqrt{71}.

$$x=\frac{2\sqrt{71}+12}{10}$$

חלק את ‎12+2\sqrt{71} ב- ‎10.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{71} מ- ‎12.

$$x=\frac{12-2\sqrt{71}}{10}$$

חלק את ‎12-2\sqrt{71} ב- ‎10.

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

הוסף ‎7 לשני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

החסרת -7 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

החסר ‎-7 מ- ‎0.

$$5x^{2}-12x=7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=\frac{7}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=\frac{7}{5}$$

חלק את ‎-\frac{12}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{6}{5}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{6}{5} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{7}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{6}{5} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{7}{5}+\frac{36}{25}$$

הוסף את ‎\frac{7}{5} ל- ‎\frac{36}{25} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{71}{25}$$

פרק x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{71}{25}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{71}{25}}$$

פשט.

$$x-\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{71}}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{71}}{5}$$

הוסף ‎\frac{6}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$