פתור את 5x^2+23x+12

$$5 { x }^{ 2 } +23x+12$$

פרק לגורמים

$$\left(x+4\right)\left(5x+3\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 5x^{2}+ax+bx+12. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=23 ab=5\times 12=60$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 23.

$$a=3 b=20$$

שכתב את ‎5x^{2}+23x+12 כ- ‎\left(5x^{2}+3x\right)+\left(20x+12\right).

$$\left(5x^{2}+3x\right)+\left(20x+12\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 4 בקבוצה השניה.

$$x\left(5x+3\right)+4\left(5x+3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 5x+3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5x+3\right)\left(x+4\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}+23x+12=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

‎23 בריבוע.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-20\times 12}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎12.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-240}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎529 ל- ‎-240.

$$x=\frac{-23±\sqrt{289}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 289.

$$x=\frac{-23±17}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{-23±17}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-23±17}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-23 ל- ‎17.

$$x=-\frac{6}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-6}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{3}{5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-23±17}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎17 מ- ‎-23.

$$x=-\frac{40}{10}$$

חלק את ‎-40 ב- ‎10.

$$x=-4$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{3}{5} במקום x_{1} וב- ‎-4 במקום x_{2}.

$$5x^{2}+23x+12=5\left(x-\left(-\frac{3}{5}\right)\right)\left(x-\left(-4\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$5x^{2}+23x+12=5\left(x+\frac{3}{5}\right)\left(x+4\right)$$

הוסף את ‎\frac{3}{5} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$5x^{2}+23x+12=5\times \frac{5x+3}{5}\left(x+4\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎5 ב- ‎5 ו- ‎5.

$$5x^{2}+23x+12=\left(5x+3\right)\left(x+4\right)$$

הערך

$$\left(x+4\right)\left(5x+3\right)$$