פתור את 49x^2+30x+25=0

$$49 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}\approx -0.306122449+0.645362788i$$

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}\approx -0.306122449-0.645362788i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 49 במקום a, ב- 30 במקום b, וב- 25 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

‎30 בריבוע.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎49.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-196\times 25}}{2\times 49}$$

הכפל את ‎-196 ב- ‎25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4900}}{2\times 49}$$

הוסף את ‎900 ל- ‎-4900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{-4000}}{2\times 49}$$

הוצא את השורש הריבועי של -4000.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{2\times 49}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎49.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-30 ל- ‎20i\sqrt{10}.

$$x=\frac{-30+20\sqrt{10}i}{98}$$

חלק את ‎-30+20i\sqrt{10} ב- ‎98.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎20i\sqrt{10} מ- ‎-30.

$$x=\frac{-20\sqrt{10}i-30}{98}$$

חלק את ‎-30-20i\sqrt{10} ב- ‎98.

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

החסר ‎25 משני אגפי המשוואה.

$$49x^{2}+30x+25-25=-25$$

החסרת 25 מעצמו נותנת 0.

$$49x^{2}+30x=-25$$

חלק את שני האגפים ב- ‎49.

$$\frac{49x^{2}+30x}{49}=-\frac{25}{49}$$

חילוק ב- ‎49 מבטל את ההכפלה ב- ‎49.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x=-\frac{25}{49}$$

חלק את ‎\frac{30}{49}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{15}{49}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{15}{49} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{25}{49}+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{15}{49} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{25}{49}+\frac{225}{2401}$$

הוסף את ‎-\frac{25}{49} ל- ‎\frac{225}{2401} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{1000}{2401}$$

פרק x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{1000}{2401}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1000}{2401}}$$

פשט.

$$x+\frac{15}{49}=\frac{10\sqrt{10}i}{49} x+\frac{15}{49}=-\frac{10\sqrt{10}i}{49}$$

החסר ‎\frac{15}{49} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$