פתור את 49v^2+112v+64

$$49 v ^ { 2 } + 112 v + 64$$

פרק לגורמים

$$\left(7v+8\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 49v^{2}+av+bv+64. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=112 ab=49\times 64=3136$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 3136.

$$1,3136 2,1568 4,784 7,448 8,392 14,224 16,196 28,112 32,98 49,64 56,56$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+3136=3137 2+1568=1570 4+784=788 7+448=455 8+392=400 14+224=238 16+196=212 28+112=140 32+98=130 49+64=113 56+56=112$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 112.

$$a=56 b=56$$

שכתב את ‎49v^{2}+112v+64 כ- ‎\left(49v^{2}+56v\right)+\left(56v+64\right).

$$\left(49v^{2}+56v\right)+\left(56v+64\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 7v בקבוצה הראשונה ואת 8 בקבוצה השניה.

$$7v\left(7v+8\right)+8\left(7v+8\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 7v+8 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(7v+8\right)\left(7v+8\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(7v+8\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(49v^{2}+112v+64)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(49,112,64)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 49v^{2}.

$$\sqrt{49v^{2}}=7v$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר הנגרר, 64.

$$\sqrt{64}=8$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(7v+8\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$49v^{2}+112v+64=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$v=\frac{-112±\sqrt{112^{2}-4\times 49\times 64}}{2\times 49}$$

‎112 בריבוע.

$$v=\frac{-112±\sqrt{12544-4\times 49\times 64}}{2\times 49}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎49.

$$v=\frac{-112±\sqrt{12544-196\times 64}}{2\times 49}$$

הכפל את ‎-196 ב- ‎64.

$$v=\frac{-112±\sqrt{12544-12544}}{2\times 49}$$

הוסף את ‎12544 ל- ‎-12544.

$$v=\frac{-112±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$v=\frac{-112±0}{2\times 49}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎49.

$$v=\frac{-112±0}{98}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{8}{7} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{8}{7} במקום x_{2}.

$$49v^{2}+112v+64=49\left(v-\left(-\frac{8}{7}\right)\right)\left(v-\left(-\frac{8}{7}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$49v^{2}+112v+64=49\left(v+\frac{8}{7}\right)\left(v+\frac{8}{7}\right)$$

הוסף את ‎\frac{8}{7} ל- ‎v על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$49v^{2}+112v+64=49\times \frac{7v+8}{7}\left(v+\frac{8}{7}\right)$$

הוסף את ‎\frac{8}{7} ל- ‎v על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$49v^{2}+112v+64=49\times \frac{7v+8}{7}\times \frac{7v+8}{7}$$

הכפל את ‎\frac{7v+8}{7} ב- ‎\frac{7v+8}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$49v^{2}+112v+64=49\times \frac{\left(7v+8\right)\left(7v+8\right)}{7\times 7}$$

הכפל את ‎7 ב- ‎7.

$$49v^{2}+112v+64=49\times \frac{\left(7v+8\right)\left(7v+8\right)}{49}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎49 ב- ‎49 ו- ‎49.

$$49v^{2}+112v+64=\left(7v+8\right)\left(7v+8\right)$$

הערך

$$\left(7v+8\right)^{2}$$