פתור את 49n^2-56n+16

$$49 n ^ { 2 } - 56 n + 16$$

פרק לגורמים

$$\left(7n-4\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 49n^{2}+an+bn+16. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-56 ab=49\times 16=784$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 784.

$$-1,-784 -2,-392 -4,-196 -7,-112 -8,-98 -14,-56 -16,-49 -28,-28$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-784=-785 -2-392=-394 -4-196=-200 -7-112=-119 -8-98=-106 -14-56=-70 -16-49=-65 -28-28=-56$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -56.

$$a=-28 b=-28$$

שכתב את ‎49n^{2}-56n+16 כ- ‎\left(49n^{2}-28n\right)+\left(-28n+16\right).

$$\left(49n^{2}-28n\right)+\left(-28n+16\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 7n בקבוצה הראשונה ואת -4 בקבוצה השניה.

$$7n\left(7n-4\right)-4\left(7n-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 7n-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(7n-4\right)\left(7n-4\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(7n-4\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(49n^{2}-56n+16)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(49,-56,16)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 49n^{2}.

$$\sqrt{49n^{2}}=7n$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר הנגרר, 16.

$$\sqrt{16}=4$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(7n-4\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$49n^{2}-56n+16=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$n=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{\left(-56\right)^{2}-4\times 49\times 16}}{2\times 49}$$

‎-56 בריבוע.

$$n=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-4\times 49\times 16}}{2\times 49}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎49.

$$n=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-196\times 16}}{2\times 49}$$

הכפל את ‎-196 ב- ‎16.

$$n=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-3136}}{2\times 49}$$

הוסף את ‎3136 ל- ‎-3136.

$$n=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$n=\frac{-\left(-56\right)±0}{2\times 49}$$

ההופכי של ‎-56 הוא ‎56.

$$n=\frac{56±0}{2\times 49}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎49.

$$n=\frac{56±0}{98}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{4}{7} במקום x_{1} וב- ‎\frac{4}{7} במקום x_{2}.

$$49n^{2}-56n+16=49\left(n-\frac{4}{7}\right)\left(n-\frac{4}{7}\right)$$

החסר את n מ- \frac{4}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$49n^{2}-56n+16=49\times \frac{7n-4}{7}\left(n-\frac{4}{7}\right)$$

החסר את n מ- \frac{4}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$49n^{2}-56n+16=49\times \frac{7n-4}{7}\times \frac{7n-4}{7}$$

הכפל את ‎\frac{7n-4}{7} ב- ‎\frac{7n-4}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$49n^{2}-56n+16=49\times \frac{\left(7n-4\right)\left(7n-4\right)}{7\times 7}$$

הכפל את ‎7 ב- ‎7.

$$49n^{2}-56n+16=49\times \frac{\left(7n-4\right)\left(7n-4\right)}{49}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎49 ב- ‎49 ו- ‎49.

$$49n^{2}-56n+16=\left(7n-4\right)\left(7n-4\right)$$

הערך

$$\left(7n-4\right)^{2}$$