פתור את 4y^2-56y=108

$$4 y ^ { 2 } - 56 y = 108$$

פתור עבור y

$$y=2\sqrt{19}+7\approx 15.717797887$$

$$y=7-2\sqrt{19}\approx -1.717797887$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4y^{2}-56y=108$$

החסר ‎108 משני אגפי המשוואה.

$$4y^{2}-56y-108=108-108$$

החסרת 108 מעצמו נותנת 0.

$$4y^{2}-56y-108=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- -56 במקום b, וב- -108 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{\left(-56\right)^{2}-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

‎-56 בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-16\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-108.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136+1728}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎3136 ל- ‎1728.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{4864}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 4864.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-56 הוא ‎56.

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎56 ל- ‎16\sqrt{19}.

$$y=\frac{16\sqrt{19}+56}{8}$$

חלק את ‎56+16\sqrt{19} ב- ‎8.

$$y=2\sqrt{19}+7$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎16\sqrt{19} מ- ‎56.

$$y=\frac{56-16\sqrt{19}}{8}$$

חלק את ‎56-16\sqrt{19} ב- ‎8.

$$y=7-2\sqrt{19}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-56y=108$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4y^{2}-56y}{4}=\frac{108}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$y^{2}+\left(-\frac{56}{4}\right)y=\frac{108}{4}$$

חלק את ‎-56 ב- ‎4.

$$y^{2}-14y=\frac{108}{4}$$

חלק את ‎108 ב- ‎4.

$$y^{2}-14y=27$$

חלק את ‎-14, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-7. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -7 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$y^{2}-14y+\left(-7\right)^{2}=27+\left(-7\right)^{2}$$

‎-7 בריבוע.

$$y^{2}-14y+49=27+49$$

הוסף את ‎27 ל- ‎49.

$$y^{2}-14y+49=76$$

פרק y^{2}-14y+49 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-7\right)^{2}=76$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(y-7\right)^{2}}=\sqrt{76}$$

פשט.

$$y-7=2\sqrt{19} y-7=-2\sqrt{19}$$

הוסף ‎7 לשני אגפי המשוואה.

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$