פתור את 4y^2-12y-16

$$4 y ^ { 2 } - 12 y - 16$$

פרק לגורמים

$$4\left(y-4\right)\left(y+1\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 4.

$$4\left(y^{2}-3y-4\right)$$

שקול את y^{2}-3y-4. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- y^{2}+ay+by-4. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -4.

$$1,-4 2,-2$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-4=-3 2-2=0$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -3.

$$a=-4 b=1$$

שכתב את ‎y^{2}-3y-4 כ- ‎\left(y^{2}-4y\right)+\left(y-4\right).

$$\left(y^{2}-4y\right)+\left(y-4\right)$$

הוצא את הגורם המשותף y ב- y^{2}-4y.

$$y\left(y-4\right)+y-4$$

הוצא את האיבר המשותף y-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(y-4\right)\left(y+1\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$4\left(y-4\right)\left(y+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4y^{2}-12y-16=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

‎-12 בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-16.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+256}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎144 ל- ‎256.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{400}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 400.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±20}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-12 הוא ‎12.

$$y=\frac{12±20}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$y=\frac{12±20}{8}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{12±20}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎12 ל- ‎20.

$$y=\frac{32}{8}$$

חלק את ‎32 ב- ‎8.

$$y=4$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{12±20}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎20 מ- ‎12.

$$y=-\frac{8}{8}$$

חלק את ‎-8 ב- ‎8.

$$y=-1$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎4 במקום x_{1} וב- ‎-1 במקום x_{2}.

$$4y^{2}-12y-16=4\left(y-4\right)\left(y-\left(-1\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$4y^{2}-12y-16=4\left(y-4\right)\left(y+1\right)$$

הערך

$$4\left(y-4\right)\left(y+1\right)$$