פתור את 4x^2-16x+15

$$4 x ^ { 2 } - 16 x + 15$$

פרק לגורמים

$$\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 4x^{2}+ax+bx+15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-16 ab=4\times 15=60$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 60.

$$-1,-60 -2,-30 -3,-20 -4,-15 -5,-12 -6,-10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-60=-61 -2-30=-32 -3-20=-23 -4-15=-19 -5-12=-17 -6-10=-16$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -16.

$$a=-10 b=-6$$

שכתב את ‎4x^{2}-16x+15 כ- ‎\left(4x^{2}-10x\right)+\left(-6x+15\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(-6x+15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת -3 בקבוצה השניה.

$$2x\left(2x-5\right)-3\left(2x-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-16x+15=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\times 15}}{2\times 4}$$

‎-16 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 4\times 15}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-16\times 15}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎15.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-240}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎256 ל- ‎-240.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{16}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 16.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±4}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-16 הוא ‎16.

$$x=\frac{16±4}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{16±4}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{16±4}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎16 ל- ‎4.

$$x=\frac{20}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{20}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{16±4}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4 מ- ‎16.

$$x=\frac{12}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{12}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{5}{2} במקום x_{1} וב- ‎\frac{3}{2} במקום x_{2}.

$$4x^{2}-16x+15=4\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)$$

החסר את x מ- \frac{5}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4x^{2}-16x+15=4\times \frac{2x-5}{2}\left(x-\frac{3}{2}\right)$$

החסר את x מ- \frac{3}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4x^{2}-16x+15=4\times \frac{2x-5}{2}\times \frac{2x-3}{2}$$

הכפל את ‎\frac{2x-5}{2} ב- ‎\frac{2x-3}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4x^{2}-16x+15=4\times \frac{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$4x^{2}-16x+15=4\times \frac{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{4}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎4 ו- ‎4.

$$4x^{2}-16x+15=\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)$$

הערך

$$\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)$$