פתור את 4x^2+44x+96=0

$$4 x ^ { 2 } + 44 x + 96 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-8$$

$$x=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x^{2}+11x+24=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx+24. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=11 ab=1\times 24=24$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 11.

$$a=3 b=8$$

שכתב את ‎x^{2}+11x+24 כ- ‎\left(x^{2}+3x\right)+\left(8x+24\right).

$$\left(x^{2}+3x\right)+\left(8x+24\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 8 בקבוצה השניה.

$$x\left(x+3\right)+8\left(x+3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x+3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x+3\right)\left(x+8\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x+3=0 ו- x+8=0.

$$x=-3 x=-8$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}+44x+96=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- 44 במקום b, וב- 96 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-44±\sqrt{44^{2}-4\times 4\times 96}}{2\times 4}$$

‎44 בריבוע.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-4\times 4\times 96}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-16\times 96}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎96.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-1536}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎1936 ל- ‎-1536.

$$x=\frac{-44±\sqrt{400}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 400.

$$x=\frac{-44±20}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{-44±20}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-44±20}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-44 ל- ‎20.

$$x=-\frac{24}{8}$$

חלק את ‎-24 ב- ‎8.

$$x=-3$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-44±20}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎20 מ- ‎-44.

$$x=-\frac{64}{8}$$

חלק את ‎-64 ב- ‎8.

$$x=-8$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-3 x=-8$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+44x+96=0$$

החסר ‎96 משני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}+44x+96-96=-96$$

החסרת 96 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}+44x=-96$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}+44x}{4}=-\frac{96}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}+\frac{44}{4}x=-\frac{96}{4}$$

חלק את ‎44 ב- ‎4.

$$x^{2}+11x=-\frac{96}{4}$$

חלק את ‎-96 ב- ‎4.

$$x^{2}+11x=-24$$

חלק את ‎11, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{11}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{11}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+11x+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}=-24+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{11}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=-24+\frac{121}{4}$$

הוסף את ‎-24 ל- ‎\frac{121}{4}.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=\frac{25}{4}$$

פרק x^{2}+11x+\frac{121}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

פשט.

$$x+\frac{11}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{11}{2}=-\frac{5}{2}$$

החסר ‎\frac{11}{2} משני אגפי המשוואה.

$$x=-3 x=-8$$