פתור את 4x^2+28x+53=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 53 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=-\frac{7}{2}+i=-3.5+i$$

$$x=-\frac{7}{2}-i=-3.5-i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- 28 במקום b, וב- 53 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

‎28 בריבוע.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 53}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎53.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-848}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎784 ל- ‎-848.

$$x=\frac{-28±\sqrt{-64}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של -64.

$$x=\frac{-28±8i}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{-28±8i}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-28±8i}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-28 ל- ‎8i.

$$x=\frac{-28+8i}{8}$$

חלק את ‎-28+8i ב- ‎8.

$$x=-\frac{7}{2}+i$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-28±8i}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎8i מ- ‎-28.

$$x=\frac{-28-8i}{8}$$

חלק את ‎-28-8i ב- ‎8.

$$x=-\frac{7}{2}-i$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

החסר ‎53 משני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}+28x+53-53=-53$$

החסרת 53 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}+28x=-53$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{53}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{53}{4}$$

חלק את ‎28 ב- ‎4.

$$x^{2}+7x=-\frac{53}{4}$$

חלק את ‎7, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{7}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{7}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{53}{4}+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{7}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{-53+49}{4}$$

הוסף את ‎-\frac{53}{4} ל- ‎\frac{49}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-1$$

פרק x^{2}+7x+\frac{49}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=-1$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

פשט.

$$x+\frac{7}{2}=i x+\frac{7}{2}=-i$$

החסר ‎\frac{7}{2} משני אגפי המשוואה.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$