פתור את 4x^2+20x+25=49

$$4 x ^ { 2 } + 20 x + 25 = 49$$

פתור עבור x

$$x=-6$$

$$x=1$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החסר ‎49 משני האגפים.

$$4x^{2}+20x+25-49=0$$

החסר את 49 מ- 25 כדי לקבל -24.

$$4x^{2}+20x-24=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x^{2}+5x-6=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx-6. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=5 ab=1\left(-6\right)=-6$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -6.

$$-1,6 -2,3$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 5.

$$a=-1 b=6$$

שכתב את ‎x^{2}+5x-6 כ- ‎\left(x^{2}-x\right)+\left(6x-6\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(6x-6\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 6 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-1\right)+6\left(x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-1\right)\left(x+6\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-1=0 ו- x+6=0.

$$x=1 x=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}+20x+25=49$$

החסר ‎49 משני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}+20x+25-49=49-49$$

החסרת 49 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}+20x+25-49=0$$

החסר ‎49 מ- ‎25.

$$4x^{2}+20x-24=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- 20 במקום b, וב- -24 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 4\left(-24\right)}}{2\times 4}$$

‎20 בריבוע.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 4\left(-24\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-16\left(-24\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-24.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+384}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎400 ל- ‎384.

$$x=\frac{-20±\sqrt{784}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 784.

$$x=\frac{-20±28}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{-20±28}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-20±28}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-20 ל- ‎28.

$$x=\frac{8}{8}$$

חלק את ‎8 ב- ‎8.

$$x=1$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-20±28}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎28 מ- ‎-20.

$$x=-\frac{48}{8}$$

חלק את ‎-48 ב- ‎8.

$$x=-6$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=1 x=-6$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+20x+25=49$$

החסר ‎25 משני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}+20x+25-25=49-25$$

החסרת 25 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}+20x=49-25$$

החסר ‎25 מ- ‎49.

$$4x^{2}+20x=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}+20x}{4}=\frac{24}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}+\frac{20}{4}x=\frac{24}{4}$$

חלק את ‎20 ב- ‎4.

$$x^{2}+5x=\frac{24}{4}$$

חלק את ‎24 ב- ‎4.

$$x^{2}+5x=6$$

חלק את ‎5, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{5}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{5}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{5}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=6+\frac{25}{4}$$

הוסף את ‎6 ל- ‎\frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{49}{4}$$

פרק x^{2}+5x+\frac{25}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

פשט.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}$$

החסר ‎\frac{5}{2} משני אגפי המשוואה.

$$x=1 x=-6$$