פתור את 4x^2+2x+1=21

$$4 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 21$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=2$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החסר ‎21 משני האגפים.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

החסר את 21 מ- 1 כדי לקבל -20.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$2x^{2}+x-10=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 2x^{2}+ax+bx-10. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=1 ab=2\left(-10\right)=-20$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 1.

$$a=-4 b=5$$

שכתב את ‎2x^{2}+x-10 כ- ‎\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$2x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-2\right)\left(2x+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-2=0 ו- 2x+5=0.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

החסר ‎21 משני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}+2x+1-21=21-21$$

החסרת 21 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

החסר ‎21 מ- ‎1.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- 2 במקום b, וב- -20 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

‎2 בריבוע.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-20.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+320}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎320.

$$x=\frac{-2±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 324.

$$x=\frac{-2±18}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{-2±18}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-2±18}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-2 ל- ‎18.

$$x=\frac{16}{8}$$

חלק את ‎16 ב- ‎8.

$$x=2$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-2±18}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎18 מ- ‎-2.

$$x=-\frac{20}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-20}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}+2x+1-1=21-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}+2x=21-1$$

החסר ‎1 מ- ‎21.

$$4x^{2}+2x=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{20}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{20}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{2}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{20}{4}$$

חלק את ‎20 ב- ‎4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=5$$

חלק את ‎\frac{1}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{1}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{1}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{1}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=5+\frac{1}{16}$$

הוסף את ‎5 ל- ‎\frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$$

פרק x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

פשט.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

החסר ‎\frac{1}{4} משני אגפי המשוואה.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$