פתור את 4x^2+16x+7=0

$$4 x ^ { 2 } + 16 x + 7 = 0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 4x^{2}+ax+bx+7. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=16 ab=4\times 7=28$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 28.

$$1,28 2,14 4,7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+28=29 2+14=16 4+7=11$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 16.

$$a=2 b=14$$

שכתב את ‎4x^{2}+16x+7 כ- ‎\left(4x^{2}+2x\right)+\left(14x+7\right).

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(14x+7\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 7 בקבוצה השניה.

$$2x\left(2x+1\right)+7\left(2x+1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x+1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+7\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2x+1=0 ו- 2x+7=0.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{7}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$4x^{2}+16x+7=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 4 במקום a, ב- 16 במקום b, וב- 7 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

‎16 בריבוע.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-16\times 7}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎7.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-112}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎256 ל- ‎-112.

$$x=\frac{-16±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 144.

$$x=\frac{-16±12}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{-16±12}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-16±12}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-16 ל- ‎12.

$$x=-\frac{4}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-4}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-16±12}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎12 מ- ‎-16.

$$x=-\frac{28}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-28}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=-\frac{7}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{7}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+16x+7=0$$

החסר ‎7 משני אגפי המשוואה.

$$4x^{2}+16x+7-7=-7$$

החסרת 7 מעצמו נותנת 0.

$$4x^{2}+16x=-7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$\frac{4x^{2}+16x}{4}=-\frac{7}{4}$$

חילוק ב- ‎4 מבטל את ההכפלה ב- ‎4.

$$x^{2}+\frac{16}{4}x=-\frac{7}{4}$$

חלק את ‎16 ב- ‎4.

$$x^{2}+4x=-\frac{7}{4}$$

חלק את ‎4, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎2. לאחר מכן הוסף את הריבוע של 2 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+4x+2^{2}=-\frac{7}{4}+2^{2}$$

‎2 בריבוע.

$$x^{2}+4x+4=-\frac{7}{4}+4$$

הוסף את ‎-\frac{7}{4} ל- ‎4.

$$x^{2}+4x+4=\frac{9}{4}$$

פרק x^{2}+4x+4 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

פשט.

$$x+2=\frac{3}{2} x+2=-\frac{3}{2}$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{7}{2}$$