פתור את 4q^2-5q-21

$$4 q ^ { 2 } - 5 q - 21$$

פרק לגורמים

$$\left(q-3\right)\left(4q+7\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 4q^{2}+aq+bq-21. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-5 ab=4\left(-21\right)=-84$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -5.

$$a=-12 b=7$$

שכתב את ‎4q^{2}-5q-21 כ- ‎\left(4q^{2}-12q\right)+\left(7q-21\right).

$$\left(4q^{2}-12q\right)+\left(7q-21\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4q בקבוצה הראשונה ואת 7 בקבוצה השניה.

$$4q\left(q-3\right)+7\left(q-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף q-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(q-3\right)\left(4q+7\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4q^{2}-5q-21=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$q=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-21\right)}}{2\times 4}$$

‎-5 בריבוע.

$$q=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-21\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$q=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-21\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-21.

$$q=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+336}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎336.

$$q=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{361}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 361.

$$q=\frac{-\left(-5\right)±19}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-5 הוא ‎5.

$$q=\frac{5±19}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$q=\frac{5±19}{8}$$

כעת פתור את המשוואה q=\frac{5±19}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎5 ל- ‎19.

$$q=\frac{24}{8}$$

חלק את ‎24 ב- ‎8.

$$q=3$$

כעת פתור את המשוואה q=\frac{5±19}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎19 מ- ‎5.

$$q=-\frac{14}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-14}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$q=-\frac{7}{4}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎3 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{7}{4} במקום x_{2}.

$$4q^{2}-5q-21=4\left(q-3\right)\left(q-\left(-\frac{7}{4}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$4q^{2}-5q-21=4\left(q-3\right)\left(q+\frac{7}{4}\right)$$

הוסף את ‎\frac{7}{4} ל- ‎q על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4q^{2}-5q-21=4\left(q-3\right)\times \frac{4q+7}{4}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎4 ו- ‎4.

$$4q^{2}-5q-21=\left(q-3\right)\left(4q+7\right)$$

הערך

$$\left(q-3\right)\left(4q+7\right)$$