פתור את 4m^2+4m-15

$$4 m ^ { 2 } + 4 m - 15$$

פרק לגורמים

$$\left(2m-3\right)\left(2m+5\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 4m^{2}+am+bm-15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 4.

$$a=-6 b=10$$

שכתב את ‎4m^{2}+4m-15 כ- ‎\left(4m^{2}-6m\right)+\left(10m-15\right).

$$\left(4m^{2}-6m\right)+\left(10m-15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2m בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$2m\left(2m-3\right)+5\left(2m-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2m-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2m-3\right)\left(2m+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4m^{2}+4m-15=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$m=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

‎4 בריבוע.

$$m=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$m=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎-15.

$$m=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎240.

$$m=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 256.

$$m=\frac{-4±16}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$m=\frac{-4±16}{8}$$

כעת פתור את המשוואה m=\frac{-4±16}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-4 ל- ‎16.

$$m=\frac{12}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{12}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$m=\frac{3}{2}$$

כעת פתור את המשוואה m=\frac{-4±16}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎16 מ- ‎-4.

$$m=-\frac{20}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-20}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$m=-\frac{5}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{3}{2} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{5}{2} במקום x_{2}.

$$4m^{2}+4m-15=4\left(m-\frac{3}{2}\right)\left(m-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$4m^{2}+4m-15=4\left(m-\frac{3}{2}\right)\left(m+\frac{5}{2}\right)$$

החסר את m מ- \frac{3}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4m^{2}+4m-15=4\times \frac{2m-3}{2}\left(m+\frac{5}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎m על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4m^{2}+4m-15=4\times \frac{2m-3}{2}\times \frac{2m+5}{2}$$

הכפל את ‎\frac{2m-3}{2} ב- ‎\frac{2m+5}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4m^{2}+4m-15=4\times \frac{\left(2m-3\right)\left(2m+5\right)}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$4m^{2}+4m-15=4\times \frac{\left(2m-3\right)\left(2m+5\right)}{4}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎4 ו- ‎4.

$$4m^{2}+4m-15=\left(2m-3\right)\left(2m+5\right)$$

הערך

$$\left(2m-3\right)\left(2m+5\right)$$